Борис Кушнир родился в 1948 в Киеве в семье музыкантов.

С 1966 он учился в Московской государственной консерватории по классу скрипки у Бориса Беленького и по классу струнного квартета в аспирантуре института им. Гнесиных у Валентина Берлинского из квартета им. Бородина. Неоднократные встречи с Дмитрием Шостаковичем (работа над поздними квартетами) и с Давидом Ойстрахом, с которым ему посчастливилось также заниматься, оказали огромное влияние на его творческое развитие.

В 1969 он стал одним из трёх лауреатов Всесоюзного конкурса скрипачей в Ленинграде, где исполнил скрипичный концерт Бетховена с Ленинградским симфоническим оркестром под управлением Юрия Темирканова. Борис Кушнир – победитель и лауреат многочисленных международных конкурсов скрипачей и конкурсов камерных ансамблей (Париж, Белград, Сион, Трапани, Братислава, Флоренция, Триест, Гориция, Гамбург, Верчелли).

В 1970 он основал Московский струнный квартет, участником которого оставался вплоть до 1979. В 1981 году переезжает в Австрию и в 1982 получает австрийское гражданство, был первым концертмейстером Брукнеровского оркестра Линца до 1983 года. В 1984 становится профессором Университета Венской Консерватории, а с 1999 года также профессором высшей степени в Университете музыки в Граце.

Как педагог, Борис Кушнир получил мировое признание благодаря выдающимся успехам своих учеников, таких как Юлиан Рахлин (премия конкурса Евровидения Гран-при для молодых музыкантов, Амстердам, 1988), Николай Цнайдер (1 премия международного конкурса скрипачей им. Королевы Елизаветы, Брюссель, 1977), Александра Сумм (I премия конкурса Евровидения Гран-при, Люцерн, 2004), Лоренцо Гатто (II премия международного конкурса им. Королевы Елизаветы, Брюссель, 2009). Кроме того, более сорока его учеников являются лауреатами национальных и международных конкурсов, стали профессорами в университетах, играют в различных камерных ансамблях и оркестрах мира, в том числе пять воспитанников работают в Венском филармоническом оркестре.

Профессор Кушнир постоянно даёт мастер-классы, является членом жюри различных международных конкурсов, таких как конкурс имени Королевы Елизаветы в Брюсселе, П.И. Чайковского в Москве, конкурса в Индианаполисе (США), Никколо Паганини в Генуе, Жака Тибо в Париже, Тибора Варги в Швейцарии, Давида Ойстраха в Москве, Евровидения, Пабло Сарасате в Памплоне, Джорже Энеску в Бухаресте. В 1984 Борис Кушнир основал Венское Шуберт Трио, которое удостоилось множества престижных наград, среди которых I премия международного конкурса имени Серджио Лоренци в Триесте, Италия; Исполнительский приз имени Моцарта в Вене и премия фонда Эрнста фон Сименса. В качестве солиста и камерного исполнителя музыкант выступал на самых прославленных сценах мира, таких как Musikverein в Вене, Teatro alla Scala в Милане, La Fenice в Венеции, Wigmore Hall в Лондоне, Concertgebouw в Амстердаме, Берлинская филармония, Théâtre des Champs-Elysées в Париже, Консерватория имени П.И. Чайковского в Москве, Ishibashi Memorial Hall и Satory Hall в Токио. Он принимал участие в многочисленных фестивалях, таких как Зальцбургский фестиваль, фестиваль Гидона Кремера в Локензаузе, фестивали «Белые ночи» в Санкт-Петербурге, «Декабрьские вечера» в Москве, «Юлиан Рахлин и его друзья» – фестиваль в Дубровнике, фестиваль Вербье в Швейцарии. Борис Кушнир выступает в ансамблях с такими известными музыкантами как Л. Леонская, Б. Березовский, Л.О. Андсненс, Ж.-И. Тибоде, И. Голан, Е. Башкирова, Ю. Рахлин, Ю. Башмет и многими другими. Как в качестве солиста, так и в качестве камерного исполнителя, Борис Кушнир сделал множество записей, одной из которых, получившей всеобщее признание, является запись с Венским Шуберт Трио всех фортепианных трио Моцарта, выпущенная фирмой EMI в 1991 году в год юбилея Моцарта. В 1993 г. он основал Венское Брамс Трио, которое с огромным успехом дебютировало на фестивале Гидона Кремера в Локензаузе.

В 1996 Трио получило I премию на IX международном конкурсе камерных ансамблей в г. Иллцах (Франция). Запись Венским Брамс Трио всех фортепианных трио Р. Шумана была выпущена фирмой Naxos в 1999 году. В 2002 году Борис Кушнир стал одним из организаторов Копельман-квартета, с которым концертирует по всему миру. В 2008 году Президент Австрийской республики наградил Бориса Кушнира «Большим серебряным крестом за заслуги перед Австрией».

Борис Кушнир играет на скрипке Антонио Страдивари (La Rouse Boughton, 1698).